یک راه بررسی محدب یا مقعر بودن یک تابع، توجه به علامت مشتق دوم آن (در صورت وجود) است. تابع f را در نظر می‌گیریم که در بازه I دوبار مشتق‌پذیر است. اگر مشتق دوم این تابع در همه نقاط بازه I بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد، آن‌گاه f در این بازه «محدب» است. اگر مشتق دوم این تابع در همه نقاط بازه I کوچک‌تر یا مساوی صفر باشد، آن‌گاه f در این بازه «مقعر» است. البته باید توجه کرد که شرط بالا تعریف تقعر و تحدب یک تابع نیست، بلکه آزمونی است برای بررسی تقعر و تحدب در یک بازه و تنها برای توابعی قابل استفاده است که دارای مشتق دوم باشند.

نقطه عطف:

اگر روی یک منحنی نقطه‌ای وجود داشته باشد که در آن نقطه جهت تقعر منحی تغییر کند، آن نقطه را یک نقطه «عطف» می‌نامیم.

شرایط نقطه عطف

تابع را در نظر می‌گیریم در صورتی که شرایط زیر صادق باشد، گوئیم نقطه عطف این تابع است:

1. تابع در پیوسته باشد.
2. تابع در دارای خط مماس باشد.
3. تقعر منحنی در عوض شود.

آزمون مشتق اول برای تعیین نقطه عطف تابع

هرگاه باشد داریم:

1. اگر ریشه ساده معادله باشد آنگاه طول نقطه اکسترمم است.
   
   
2. اگر a ریشه مضاعف معادله باشد آنگاه طول نقطه عطف با مماس افقی است.
   
   

همانطور که می‌دانیم نقطه عطف نقطه‌ای است که در آن بتوان مماس بر تابع رسم کرد. همین‌طور نقطه‌ای است که تقعر منحنی تغییر می‌کند، بنابراین با داشتن مشتق تابع و تعیین تغییر علامت تابع مشتق در نقاط مختلف می‌توان نقطه عطف را شناسایی نمود. در اطر اف نقطه عطف نقطه‌ای ، در یک طرف ، تابع اکیدا صعودی (یعنی مثبت) و در طرف دیگر تابع اکیدا نزولی (یعنی منفی) است.

آزمون مشتق دوم برای شناسایی نقطه عطف

هرگاه باشد داریم:

الف) اگر ریشه ساده معادله باشد آنگاه طول نقطه عطف است.

ب) اگر ریشه مضاعف معادله باشد آنگاه با یکی از دو حالت زیر مواجه خواهیم شد:

1. اگر ریشه ساده معادله باشد آنگاه طول نقطه اکسترمم است.
   
   
2. اگر ریشه ساده معادله نباشد آنگاه طول نقطه مپلاست.

بنابراین نقطه عطف خمی که دو بار مشتق‌پذیر است نقطه‌ای است که در طرفش مثبت و در طرف دیگر منفی است. در نقطه عطف صفر است، زیرا مشتق‌ها دارای ویژگی‌ مقدار میانی هستند، البته توجه به این نکته خالی از لطف نیست که ممکن است در نقطه‌ای برابر صفر باشد که نقطه عطف نیست. همین‌طور نقطه در جایی باشد که در آن نقطه موجود نیست. مثل نمودار ، نقطه عطف این تابع در جایی است که وجود ندارد.

برخی نکات طلایی برای شناسایی نقطه عطف

• هرگاه تابع فرد بوده و موجود یا باشد، مبدأ مختصات نقطه عطف این تابع است.
  
  
• در نقطه عطف مقدار موجود نیست ولی درصورت وجود برابر صفر است.
  
  
• نقطه برای تابع (با شرایط ) نقطه عطف با مماس افقی است.
  
  
• برای تابع (با شرایط فرد) داریم:
  
  

الف) اگر باشد آنگاه نقطه عطف با مماس قائم است.
ب) اگر باشد آنگاه نقطه عطف با مماس افقی است.

• منحنی توابع که بشکل ، و ، هستند، دارای نقطه عطف نیست.
  
  
• برای توابع کسری به شکل داریم:

در تابع فوق اگر مخرج فاقد ریشه باشد آنگاه:

کاربردها

نقاط عطف برای ترسیم توابع ، آگاهی از رفتار تابع در نقاط مختلف برای مهندسی سدها ، مهندسی پل بسیار حائز اهمیت است.

1x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

شگفت انگيز بود ، نه ؟

حالا تقارن را ببينيد :

1x 1 = 1
11x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111= 12345678987654321

یک معلم باتجربه ، شرایط یادگیری را طوری فراهم می کند که دانش آموز بتواند مفاهیم ریاضی را عمیقاً دریابد و به کار ببرد ، با این وجود این دانش آموز است که باید بیاموزد و تا زمانی که خود او برای آموختن فعال نباشد و با علاقه و انگیزه تلاش نکند ، هیچ معلمی تمی تواند ، نه تنها ریاضیات بلکه هیچ علمی دیگر را در مغز او فرو کند .
اولین مانعی که بر سر راه شما در فراگیری ریاضیات وجود دارد و باید برای برداشتن آن اقدام کنید ذهنیت منفی است که در اغلب دانش آموزان نسبت به ریاضیات وجود دارد . بسیاری از دانش آموزان معتقدند که فراگیری ریاضیات به صورت گسترده ای که در دبیرستان های ما تدریس می شود کاری بیهوده و غیرضروری است .

توجه داشته باشید که اگر موضوعی از دید فراگیرنده سودبخش و کاربردی باشد ، یادگیری آن آسانتر و سریعتر خواهد بود . بنابراین بیندیشید و تا جائیکه می توانید کاربردهای ریاضیاتی را که می آموزید پیدا کنید به این منظور از کتابهای مختلف و معلمینتان کمک بگیرید ( لازم نیست وارد جزئیات بشوید ، همان کاربردهای کلی کافیست ) .
مشکل بعدی دانش آموزان در فراگیری ریاضایت این است که اکثراً خود را متقاعد کرده اند که توانایی فراگیری ریاضیات را ندارند .
برای این دوستان بهتر آن است که ابتدا با ریاضیاتی شروع کنند که اموختن آن برایشان ساده تر است و بعد به تدریج به سراغ مفاهیم پیچیده تر بروند . این شیوه موجب می شود که تجربیات موفقیت آمیزی در ریاضی کسب کنند و به ادامه کار تشویق شوند . چرا که به تجربه ثابت شده هیچ چیز به اندازه موفقیت لذت بخش و دلگرم کننده نیست .

ادامه مطلب

فن آوری اطلاعات و ارتباطات چيست ؟
در پنجاه سال گذشته بروز تحولات گسترده در زمينه کامپيوتر و ارتباطات ، تغييرات عمده ای را در عرصه های متفاوت حيات بشری به دنبال داشته است . انسان همواره از فن آوری استفاده نموده و کارنامه حيات بشريت مملو از ابداع فن آوری های متعددی است که جملگی در جهت تسهيل زندگی انسان مطرح شده اند. در ساليان اخير ، فن آوری های اطلاعات و ارتباطات که از آنان به عنوان فن آوری های جديد و يا عالی ، ياد می شود ، بيشترين تاثير را در حيات بشريت داشته اند . دنيای ارتباطات و توليد اطلاعات به سرعت در حال تغيير بوده و ما امروزه شاهد همگرائی آنان بيش از گذشته با يکديگر بوده ، بگونه ای که داده و اطلاعات به سرعت و در زمانی غيرقابل تصور به اقصی نقاط جهان منتقل و در دسترس استفاده کنندگان قرار می گيرد . بدون شک مهمترين و در عين حال بزرگترين پيشرفت در زمينه فن آوری اطلاعات و ارتباطات به ابداع "وب" توسط " تيم . برنرزلی " در اواخر سال 1980 در CERN ، برمی گردد . به منظور آشنائی با جايگاه واقعی "وب " ، کافی است به ضريب نفوذ آن پس از ابداع توجه گردد. پس از ابداع هر فن آوری ، مدت زمانی بطول می انجامد تا فن آوری مورد نظر در مقياس عمومی مورد استفاده قرار گيرد( ضريب نفوذ) . مثلا" تلفن پس از 74 سال ، راديو پس از 38 سال ، کامپيوترهای شخصی پس از 16 سال ، تلويزيون پس از 13 سال و "وب " پس از 4 سال ، موفق به جذب پنجاه ميليون استفاده کننده شده اند .
فن آوری اطلاعات و ارتباطات ، بدون شک تحولات گسترده ای را در تمامی عرصه های اجتماعی و اقتصادی بشريت به دنبال داشته و تاثير آن بر جوامع بشری بگونه ای است که جهان امروز به سرعت در حال تبديل به يک جامعه اطلاعاتی است . جامعه ای که در آن دانائی و ميزان دسترسی و استفاده مفيد از دانش ، دارای نقشی محوری و تعيين کننده است .

ادامه مطلب

http://yadegar2.blogfa.com/cat-46.aspx

مُجانب یکی از مفاهیم دانش ریاضی است.

مجانبها که در مبحث حساب دیفرانسیل وجود دارد 1) مجانب قایم 2) مجانب افقی 3) مجانب مایل

توضیحات: ۱) در این مورد داریم ریشه مخرج در توابع مختلف ۲) برای این مجانب باید در تابع مورد نظر حد گرفته و وقتی که متغیر را به سمت بینهایت میل دهیم اگر جواب حد عدد به دست آمد جواب مسئله است 3)مانند (2)عمل می‌کنیم واگر حاصل بینهایت شد تابع دارای مجانب مایل است .

نکاتی در مورد به دست آوردن آنها:

1-ریشه مخرج مجانب قایم تابع است ۲-درتوابع مثلثات مثل تانژانت که سینوس بر کسینوس است باید جوابهای سینوس را به دست آورده و اگر در بازه مورد نظر باشد آنها را به عنوان مجانب قایم در نظر می‌گیریم.

ادامه مطلب

صحبت از ریاضی یعنی صحبت از رموز زندگی و گفتگو درباره اصول و قوانینی که زندگی متمدن امروزه و تکنولوژی پیچیده و صنایع غول پیکر و رایانه های قدرتمندی که می روند جای انسان را بگیرند ، حاصل آن قوانین و اصول هستند .

شاید نامگذاری یک دهه در هر سال به نام دهه ریاضی به علت این نقش و تاثیر مهم و غیر قابل کتمان علم ریاضی در عرصه های مختلف زندگی بشر امروز بوده است .

ما نیازمند ‌احساس‌ ‌عظمت‌ و شان‌ و زیبایى‌ ریاضى‌ به‌‌عنو‌ان‌ یک‌ موفقیت‌ ‌اساسى‌ نو‌ع‌ بشر ‌هستیم‌ ـ نه‌ فقط‌ تو‌انایى‌ ریاضى‌ بر‌ا‌ى‌ کار‌ها‌ى‌ ‌عملى‌ ـ بلکه‌ تصور یک‌ کل‌ سازمان‌ یافته‌، تصور تلاش‌‌ها‌ى‌ بیکر‌ان‌
بى‌تزویر و ‌اصیلى‌ که‌ توسط‌ ذ‌هن‌ بشر، در طى‌ ‌هز‌ار‌ان‌ سال‌ ‌انجام‌ شده‌ ‌است‌ تا به‌ خلق‌ ‌این‌ ساختار پویا، منسجم‌ و ‌هما‌هنگ‌ منتهى‌ شود.( ریاضی و آموزش ریاضی)

ازین رو اینجانب به عنوان دبیر دبیرستان لازم دیدم که دانش آموزان را با این دهه آشنا کرده و به منظور ایجاد علاقه و انجام فعالیت های گروهی آنها را تشویق کردم که یک نمایشگاه ریاضی در محل دبیرستان حجاب برگزار نمایند

این کار تاثیر بسیار زیادی بر دانش آموزان و آشنایی آنها با دانشمندان ریاضی ایرانی و معماهای ریاضی داشت.